%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 1
\newcommand{\CRA}{
习题1. 判断下面所定义的变换，哪些是线性的，哪些不是：

  1) 在线性空间 \( V \) 中，\( \mathcal{A} \xi = \alpha \)，其中 \( \alpha \in V \) 是一固定的向量；

  2) 在线性空间 \( V \) 中，\( \mathcal{A} \xi = \xi + \alpha \)，其中 \( \alpha \in V \) 是一固定的向量；

  3) 在 \( \mathbb{R}^3 \) 中，\( \mathcal{A}(x_1, x_2, x_3) = (x_1^2, x_2^2, x_3^2) \)；

  4) 在 \( \mathbb{R}^3 \) 中，\( \mathcal{A}(x_1, x_2, x_3) = (2x_1 - x_2, x_2 + x_3, x_1) \)；

  5) 在 \( P[x] \) 中，\( \mathcal{A}f(x) = f(x+1) \)；

  6) 在 \( P[x] \) 中，\( \mathcal{A}f(x) = f(x_0) \)，其中 \( x_0 \in P \) 是一固定的数；

  7) 把复数域看作复数域上的线性空间，\( \mathcal{A} \xi = \overline{\xi} \)；

  8) 在 \( P^{n \times n} \) 中，\( \mathcal{A}(X) = BXC \)，其中 \( B,C \in P^{n \times n} \) 是两个固定的矩阵。

}





\newcommand{\CRAa}{
判断在线性空间 \( \mathbb{R}^3 \) 上的变换哪些是线性变换：
 \begin{eqnarray*}
\mathcal{A}(x_1, x_2, x_3) &=& (x_1^2, x_2^3, x_3^4), \\ 
\mathcal{B}(x_1, x_2, x_3) &=& (x_1 + 2x_2, x_2 + 3x_3, x_3 + 4x_1). 
\end{eqnarray*}
}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 2
\newcommand{\CRB}{
习题2. 在几何空间中，取正交坐标系 \( Oxyz \) 以 \( \mathcal{A} \) 表示将空间绕 \( Ox \) 轴由 \( Oy \) 向 \( Oz \) 方向旋转 \( 90^\circ \) 的变换，以 \( \mathcal{B} \) 表示绕 \( Oy \) 轴由 \( Oz \) 向 \( Ox \) 方向旋转 \( 90^\circ \) 的变换，以 \( \mathcal{C} \) 表示绕 \( Oz \) 轴由 \( Ox \) 向 \( Oy \) 方向旋转 \( 90^\circ \) 的变换。证明：

\[
\mathcal{A}^4 = \mathcal{B}^4 = \mathcal{C}^4 = \mathcal{E},
\mathcal{A} \mathcal{B} \neq \mathcal{B} \mathcal{A},
\,\,\textrm{但}\,\,
\mathcal{A}^2 \mathcal{B}^2 = \mathcal{B}^2 \mathcal{A}^2.
\]

并检验 \( (\mathcal{A} \mathcal{B})^2 = \mathcal{A}^2 \mathcal{B}^2 \) 是否成立。

}

\newcommand{\CRBa}{
在平面中，取直角坐标系 \( Oxy \). 
以 \( \mathcal{A} \) 表示将平面绕原点逆时针旋转 \( 90^\circ \) 的变换，
以 \( \mathcal{B} \) 表示关于 \( Ox \) 轴的反射变换，
判断 $\mathcal{A} \mathcal{B} = \mathcal{B} \mathcal{A}$ 是否成立。 
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 3
\newcommand{\CRC}{
习题3. 在 \( P[x] \) 中，\( \mathcal{A}f(x) = f'(x) \)，\( \mathcal{B}f(x) = xf(x) \)，证明：
\[
\mathcal{A} \mathcal{B} - \mathcal{B} \mathcal{A} = \mathcal{E}.
\]
}

\newcommand{\CRCa}{
在次数小于等于2的实系数多项式全体组成的线性空间 \( V=\mathbb{R}[x]_2 \) 中，
定义线性变换 
\begin{eqnarray*}
\mathcal{A}f(x) &=& f'(x), \\ 
\mathcal{B}f(x) &=& f(2x+1).
\end{eqnarray*} 
判断 $\mathcal{A} \mathcal{B} = \mathcal{B} \mathcal{A}$ 是否成立。 
写出这些线性变换在一组基 $1,x,x^2$ 下的矩阵。

}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 4
\newcommand{\CRD}{
习题4. 设 \( \mathcal{A} \)，\( \mathcal{B} \) 是线性变换，如果 \( \mathcal{A} \mathcal{B} - \mathcal{B} \mathcal{A} = \mathcal{E} \)，证明：

\[
\mathcal{A}^k \mathcal{B} - \mathcal{B} \mathcal{A}^k = k \mathcal{A}^{k-1}, \quad k > 1.
\]

}

\newcommand{\CRDa}{
设 \( \mathcal{A} \) 与 \( \mathcal{B} \) 是线性空间 $V$ 上的线性变换，如果 \( \mathcal{A} \mathcal{B} - \mathcal{B} \mathcal{A} = \mathcal{E} \)，
证明 
\(
\mathcal{A}^2 \mathcal{B} - \mathcal{B} \mathcal{A}^2 = 2 \mathcal{A}
\). 

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 5
\newcommand{\CRE}{
习题5. 证明：可逆变换是双射。
}

%\item % 5
\newcommand{\CREa}{
判断 $V=\mathbb{R}[x]$ 上的线性变换 $\mathcal{A}f(x) = f'(x)$ 是否为可逆变换。
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 6
\newcommand{\CRF}{
习题6. 设 \( \varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n \) 是线性空间 \( V \) 的一组基，\( \mathcal{A} \) 是 \( V \) 上的线性变换，证明：\( \mathcal{A} \) 可逆当且仅当 \( \mathcal{A} \varepsilon_1, \mathcal{A} \varepsilon_2, \cdots, \mathcal{A} \varepsilon_n \) 线性无关。
}

\newcommand{\CRFa}{
设 \( \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3 \) 是线性空间 \( V \) 的一组基，设 \( \mathcal{A} \) 是 \( V \) 上的线性变换。
设 \( \mathcal{A} \varepsilon_1, \mathcal{A} \varepsilon_2, \mathcal{A} \varepsilon_3 \) 线性无关。
求 \( \mathcal{A} \) 的逆变换。 

}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 7
\newcommand{\CRG}{
习题7. 求下列线性变换在所指定基下的矩阵：

  1) 第 1 题 4) 中变换 \( \mathcal{A} \) 在基 \( e_1 = (1, 0, 0), e_2 = (0, 1, 0), e_3 = (0, 0, 1) \) 下的矩阵；

  2) \( [O;e_1,e_2] \) 是平面上一直角坐标系，\( \mathcal{A} \) 是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影，\( \mathcal{B} \) 是平面上的向量对 \( e_2 \) 的垂直投影，求 \( \mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{A} \mathcal{B} \) 在基 \( e_1, e_2 \) 下的矩阵；

  3) 在空间 \( P[x] \) 中，设变换 \( \mathcal{A} \) 为 \( f(x) \rightarrow f(x+1) - f(x) \)，求 \( \mathcal{A} \) 在基
\[
e_0 = 1, \quad e_i = \frac{x(x-1) \cdots (x-i+1)}{i!}, \quad i = 1, 2, \cdots, n-1
\]
下的矩阵；

4) 6个函数
\begin{eqnarray*}
 \varepsilon_1 = e^{ax} \cos bx, \hspace{0.5cm}
 \varepsilon_2 = e^{ax} \sin bx, \hspace{0.5cm}
 \varepsilon_3 = xe^{ax} \cos bx, \\ 
 \varepsilon_4 = xe^{ax} \sin bx, \hspace{0.5cm} 
 \varepsilon_5 = \frac{1}{2}x^2 e^{ax} \cos bx, \hspace{0.5cm}
 \varepsilon_6 = \frac{1}{2}x^2 e^{ax} \sin bx 
\end{eqnarray*}
的所有实系数线性组合构成实数域上一个6维线性空间，求微分变换 \(\mathcal{A}\) 在基 \(\varepsilon_i (i=1,2,\cdots,6)\) 下的矩阵；

5) 已知 \(P^3\) 中线性变换 \(\mathcal{A}\) 在基 \(\eta_1 = (-1,1,1), \eta_2 = (1,0,-1), \eta_3 = (0,1,1)\) 下的矩阵是
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
-1 & 2 & 1 
\end{pmatrix},
\]
求 \(\mathcal{A}\) 在基 \(\varepsilon_1 = (1,0,0), \varepsilon_2 = (0,1,0), \varepsilon_3 = (0,0,1)\) 下的矩阵；

6) 在 \(P^3\) 中，\(\mathcal{A}\) 定义如下：
\[
\begin{cases}
\mathcal{A} \eta_1 = (-5,0,3), \\
\mathcal{A} \eta_2 = (0,-1,6), \\
\mathcal{A} \eta_3 = (-5,-1,9),
\end{cases}
\]
其中
\[
\begin{cases}
\eta_1 = (-1,0,2), \\
\eta_2 = (0,1,1), \\
\eta_3 = (3,-1,0),
\end{cases}
\]
求 \(\mathcal{A}\) 在基 \(\varepsilon_1 = (1,0,0), \varepsilon_2 = (0,1,0), \varepsilon_3 = (0,0,1)\) 下的矩阵；

7) 同上，求 \(\mathcal{A}\) 在 \(\eta_1, \eta_2, \eta_3\) 下的矩阵。

}

\newcommand{\CRGa}{
已知线性空间 \(\mathbb{R}^3\) 上的线性变换 \(\mathcal{A}\) 在一组基
\(
\eta_1=\begin{pmatrix}
0\\ 1 \\ 1 \\
\end{pmatrix},
\eta_2=\begin{pmatrix}
1\\ 0 \\ 1 \\
\end{pmatrix},
\eta_3=\begin{pmatrix}
1 \\ 1 \\ 0 \\
\end{pmatrix}
\) 
下的矩阵是
\(
A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 4 \\
3 & 4 & 5 
\end{pmatrix}.
\) 
求 \(\mathcal{A}\) 在另一组基
\(
\eta_1=\begin{pmatrix}
1\\ 0 \\ 0 \\
\end{pmatrix},
\eta_2=\begin{pmatrix}
0\\ 1 \\ 0 \\
\end{pmatrix},
\eta_3=\begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 1 \\
\end{pmatrix}
\) 
下的矩阵。
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 8
\newcommand{\CRH}{
习题8. 在 \(P^{2\times 2}\) 中定义线性变换
\[
\mathcal{A}_1(X) = 
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d 
\end{pmatrix} X, \quad \mathcal{A}_2(X) = X 
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d 
\end{pmatrix},
\]
\[
\mathcal{A}_3(X) = 
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d 
\end{pmatrix} X 
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d 
\end{pmatrix},
\]
求 \(\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2, \mathcal{A}_3\) 在基 \(E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}\) 下的矩阵。

}

\newcommand{\CRHa}{
在线性空间 \(\mathbb{R}^{2\times 2}\) 上定义线性变换
\(
\mathcal{A}(X) = 
\begin{pmatrix}
3 & 4 \\
5 & 6 
\end{pmatrix} X,  
\)
求 \(\mathcal{A}\) 在基 \(E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}\) 下的矩阵。

}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 9
\newcommand{\CRI}{
习题9. 设三维线性空间 \( V \) 上的线性变换 \(\mathcal{A}\) 在基 \( \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3 \) 下的矩阵为
\[
A = 
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix}.
\]

1) 求 \(\mathcal{A}\) 在基 \( \varepsilon_3, \varepsilon_2, \varepsilon_1 \) 下的矩阵；

2) 求 \(\mathcal{A}\) 在基 \( \varepsilon_1, k\varepsilon_2, \varepsilon_3 \) 下的矩阵，其中 \( k \in P \) 且 \( k \neq 0 \)；

3) 求 \(\mathcal{A}\) 在基 \( \varepsilon_1 + \varepsilon_2, \varepsilon_2, \varepsilon_3 \) 下的矩阵。

}


\newcommand{\CRIa}{
设线性空间 \( V \) 上的线性变换 \(\mathcal{A}\) 在一组基 \( \varepsilon_1, \varepsilon_2 \) 下的矩阵为
\(
A = 
\begin{pmatrix}
a&b \\ c&d \\
\end{pmatrix}.
\)
求 \(\mathcal{A}\) 在另一组基 \( \varepsilon_2, 2\varepsilon_1\) 下的矩阵。
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 10
\newcommand{\CRJ}{
习题10. 设 \(\mathcal{A}\) 是线性空间 \( V \) 上的线性变换，如果 \(\mathcal{A}^{k-1} \xi \neq 0\)，但 \(\mathcal{A}^k \xi = 0\)，求证 \(\xi, \mathcal{A} \xi, \cdots, \mathcal{A}^{k-1} \xi (k>0)\) 线性无关。

}


\newcommand{\CRJa}{
设 \(\mathcal{A}\) 是线性空间 \( V \) 上的线性变换，
设 \(\mathcal{A}^2 \xi \neq 0\) 但 \(\mathcal{A}^3 \xi = 0\). 
证明 \(\xi, \mathcal{A} \xi, \mathcal{A}^2 \xi \) 线性无关。

}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 11
\newcommand{\CRK}{
习题11. 在 \( n \) 维线性空间中，设有线性变换 \(\mathcal{A}\) 与向量 \(\xi\)，使得 \(\mathcal{A}^{n-1} \xi \neq 0\)，但 \(\mathcal{A}^n \xi = 0\)，求证 \(\mathcal{A}\) 在某组基下的矩阵是
\[
\begin{pmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 & 0
\end{pmatrix}.
\]

}

\newcommand{\CRKa}{
在三维线性空间中，设有线性变换 \(\mathcal{A}\) 与向量 \(\xi\) 使得 \(\mathcal{A}^2 \xi \neq 0\) 但 \(\mathcal{A}^3 \xi = 0\). 
求一组基使得 \(\mathcal{A}\) 在这组基下的矩阵是
\(
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}.
\)

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 12
\newcommand{\CRL}{
习题12. 设 \( V \) 是数域 \( P \) 上 \( n \) 维线性空间。证明：\( V \) 上的与全体线性变换可交换的线性变换是数乘变换。

}

\newcommand{\CRLa}{
设 \( V \) 是二维实线性空间。
设 $\mathcal{A}$ 是 $V$ 上的线性变换。
设对 $V$ 上的任意线性变换 $\mathcal{B}$, 都有 $\mathcal{A}\mathcal{B}=\mathcal{B}\mathcal{A}$. 
证明存在实数 $k$ 使得 $\mathcal{A}=k\mathcal{E}$, 即为数乘变换。
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 13
\newcommand{\CRM}{
习题13. \(\mathcal{A}\) 是数域 \(P\) 上 \(n\) 维线性空间 \(V\) 的一个线性变换。证明：如果 \(\mathcal{A}\) 在任意一组基下的矩阵都相同，那么 \(\mathcal{A}\) 是数乘变换。

}

\newcommand{\CRMa}{
设 \(\mathcal{A}\) 是二维实线性空间 \(V\) 上的一个线性变换。
证明：如果 \(\mathcal{A}\) 在任意一组基下的矩阵都相同，那么 \(\mathcal{A}\) 是数乘变换。

}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 14
\newcommand{\CRN}{
习题14. 设 \(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4\) 是 4 维线性空间 \(V\) 的一组基，已知线性变换 \(\mathcal{A}\) 在这组基下的矩阵为
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 1 \\
-1 & 2 & 1 & 3 \\
1 & 2 & 5 & 5 \\
2 & -2 & 1 & -2
\end{pmatrix}.
\]

1) 求 \(\mathcal{A}\) 在基 \(\eta_1 = \varepsilon_1 - 2\varepsilon_2 + \varepsilon_4\), \(\eta_2 = 3\varepsilon_2 - \varepsilon_3 - \varepsilon_4\), \(\eta_3 = \varepsilon_3 + \varepsilon_4\), \(\eta_4 = 2\varepsilon_4\) 下的矩阵；

2) 求 \(\mathcal{A}\) 的核与值域；

3) 在 \(\mathcal{A}\) 的核中选一组基，把它扩充成 \(V\) 的一组基，并求 \(\mathcal{A}\) 在这组基下的矩阵；

4) 在 \(\mathcal{A}\) 的值域中选一组基，把它扩充成 \(V\) 的一组基，并求 \(\mathcal{A}\) 在这组基下的矩阵。

}


\newcommand{\CRNa}{
设 \(\varepsilon_1, \varepsilon_2\) 是实二维线性空间 \(V\) 的一组基，已知线性变换 \(\mathcal{A}\) 在这组基下的矩阵为
\(
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
2 & 4 \\
\end{pmatrix}.
\)
\begin{enumerate}
\item  求 \(\mathcal{A}\) 在基 \(\eta_1 = \varepsilon_1 + 2\varepsilon_2\), \(\eta_2 = 2\varepsilon_1 - \varepsilon_2 \) 下的矩阵。
\item  求 \(\mathcal{A}\) 的核与值域。
\item  在 \(\mathcal{A}\) 的核与值域中各选一组基，
证明这两组向量合并成 $V$ 的一组基。
\item  求 \(\mathcal{A}\) 在这组基下的矩阵。
\end{enumerate}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 15
\newcommand{\CRO}{
习题15. 给定 \(P^3\) 的两组基
\begin{eqnarray*}
\varepsilon_1 = (1, 0, 1), \quad \varepsilon_2 = (2, 1, 0), \quad \varepsilon_3 = (1, 1, 1), \\
\eta_1 = (1, 2, -1), \quad \eta_2 = (2, 2, -1), \quad \eta_3 = (2, -1, -1).
\end{eqnarray*}
定义线性变换 \(\mathcal{A}\)：
\[
\mathcal{A} \varepsilon_i = \eta_i, \quad i = 1, 2, 3.
\]

1) 写出由基 \(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3\) 到基 \(\eta_1, \eta_2, \eta_3\) 的过渡矩阵；

2) 写出 \(\mathcal{A}\) 在基 \(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3\) 下的矩阵；

3) 写出 \(\mathcal{A}\) 在基 \(\eta_1, \eta_2, \eta_3\) 下的矩阵。

}


\newcommand{\CROa}{
考虑线性空间 \(\mathbb{R}^2\) 的两组基 
$\varepsilon_1 = (1,1), \varepsilon_2 = (2,1)$ 与 
$\eta_1 = (1, 2), \eta_2 = (2,3)$. \\
定义线性变换 $\mathcal{A} \varepsilon_i = \eta_i, i = 1,2$. 
\begin{enumerate}
\item  写出由基 \(\varepsilon_1, \varepsilon_2,\) 到基 \(\eta_1, \eta_2\) 的过渡矩阵。
\item  写出 \(\mathcal{A}\) 在基 \(\varepsilon_1, \varepsilon_2 \) 下的矩阵。
\item  写出 \(\mathcal{A}\) 在基 \(\eta_1, \eta_2\) 下的矩阵。
\end{enumerate}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 16
\newcommand{\CRP}{
习题16. 证明：
\[
\begin{pmatrix}
\lambda_1 & & & \\
& \lambda_2 & & \\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_n
\end{pmatrix}
\,\,\textrm{与}\,\,
\begin{pmatrix}
\lambda_{i_1} & & & \\
& \lambda_{i_2} & & \\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_{i_n}
\end{pmatrix}
\]
相似，其中 \( i_1, i_2, \cdots, i_n \) 是 \( 1, 2, \cdots, n \) 的一个排列。

}

\newcommand{\CRPa}{
证明矩阵 
$A=\begin{pmatrix} \lambda_1 & \\ & \lambda_2 \\ \end{pmatrix}$
与 
$B=\begin{pmatrix} \lambda_2 & \\ & \lambda_1 \\ \end{pmatrix}$
相似。
}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 17
\newcommand{\CRQ}{
习题17. 如果 \( A \) 可逆，证明：\( AB \) 与 \( BA \) 相似。

}

\newcommand{\CRQa}{
如果矩阵 \( A \) 可逆，证明矩阵 \( AB \) 与 \( BA \) 相似。
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 18
\newcommand{\CRR}{
习题18. 如果 \( A \) 与 \( B \) 相似，\( C \) 与 \( D \) 相似，证明：
\[
\begin{pmatrix}
A & O \\
O & C
\end{pmatrix}
\,\,\textrm{与}\,\,
\begin{pmatrix}
B & O \\
O & D
\end{pmatrix}
\]
相似。

}

\newcommand{\CRRa}{
如果矩阵 \( A \) 与 \( B \) 相似，矩阵 \( C \) 与 \( D \) 相似，证明矩阵 
\(
\begin{pmatrix}
A & O \\
O & C
\end{pmatrix}
\,\,\textrm{与}\,\,
\begin{pmatrix}
B & O \\
O & D
\end{pmatrix}
\)
相似。

}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 19
\newcommand{\CRS}{
习题19. 求复数域上线性空间 \( V \) 的线性变换 \(\mathcal{A}\) 的特征值与特征向量，已知 \(\mathcal{A}\) 在一组基下的矩阵为：

1) \( A = \begin{pmatrix}
3 & 4 \\
5 & 2
\end{pmatrix} \);

2) \( A = \begin{pmatrix}
0 & a \\
-a & 0
\end{pmatrix} \);

3) \( A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & -1 & -1 \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix} \);

4) \( A = \begin{pmatrix}
5 & 6 & -3 \\
-1 & 0 & 1 \\
1 & 2 & -1
\end{pmatrix} \).


5) \( A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)；

6) \( A = 
\begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ -2 & 0 & 3 \\ -1 & -3 & 0 \end{pmatrix} \)；

7) \( A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ -4 & -1 & 0 \\ 4 & -8 & -2 \end{pmatrix} \)；

}


\newcommand{\CRSa}{
求复数域上的线性空间 \( V \) 的线性变换 \(\mathcal{A}\) 的特征值与特征向量，已知 \(\mathcal{A}\) 在一组基下的矩阵为：
$$
(1)\, A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 2 \end{pmatrix},\quad 
(2)\, A = \begin{pmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \end{pmatrix}, \quad
(3)\, A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ -2 & 0 & 3 \\ -1 & -3 & 0 \end{pmatrix}. 
$$
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 20
\newcommand{\CRT}{
习题20. 在上题中哪些变换的矩阵可以在适当的基下化成对角形？在可以化成对角形的情况下，写出相应的基变换的过渡矩阵 \( T \)，并验算 \( T^{-1}AT \)。

}

\newcommand{\CRTa}{
判断下述矩阵分别在实数范围和复数范围内能否相似于对角矩阵：
$$
(1)\, A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 2 \end{pmatrix},\quad 
(2)\, A = \begin{pmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \end{pmatrix}, \quad
(3)\, \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ -2 & 0 & 3 \\ -1 & -3 & 0 \end{pmatrix}. 
$$
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 21
\newcommand{\CRU}{
习题21. 在 \( P[x]_n(n>1) \) 中，求微分变换 \(\mathcal{D}\) 的特征多项式，并证明 \(\mathcal{D}\) 在任何一组基下的矩阵都不可能是对角矩阵。

}

\newcommand{\CRUa}{
考虑次数小于等于2的实系数多项式全体组成的线性空间 \( V=\mathbb{R}[x]_2 \). 
\begin{enumerate}
\item 考虑一组基 $1,x,x^2$, 求微分变换 \(\mathcal{D}\) 的特征多项式。
\item 证明 \(\mathcal{D}\) 在任何一组基下的矩阵都不可能是对角矩阵。
\end{enumerate}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 22
\newcommand{\CRV}{
习题22. 设
\[
A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 4 & 3 \end{pmatrix},
\]
求 \( A^k \)。

}

\newcommand{\CRVa}{
使用相似于对角阵的方法，求矩阵 $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$ 的幂次 $A^n$. 
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 23
\newcommand{\CRW}{
习题23. 设 \( \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4 \) 是 4 维线性空间 \( V \) 的一组基，线性变换 \( \mathcal{A} \) 在这组基下的矩阵为
\[
A = 
\begin{pmatrix}
5 & -2 & -4 & 3 \\
3 & -1 & -3 & 2 \\
-3 & \frac{1}{2} & \frac{9}{2} & -\frac{5}{2} \\
-10 & 3 & 11 & -7
\end{pmatrix}.
\]

1) 求 \( \mathcal{A} \) 在基
\begin{eqnarray*}
\eta_1 &=& \varepsilon_1 + 2\varepsilon_2 + \varepsilon_3 + \varepsilon_4, \\
\eta_2 &=& 2\varepsilon_1 + 3\varepsilon_2 + \varepsilon_3, \\
\eta_3 &=& \varepsilon_3, \\
\eta_4 &=& \varepsilon_4
\end{eqnarray*}
下的矩阵；

2) 求 \( \mathcal{A} \) 的特征值与特征向量；

3) 求一可逆矩阵 \( T \)，使 \( T^{-1}AT \) 成对角形。

}


\newcommand{\CRWa}{
将矩阵 $A = \begin{pmatrix} 5 & -2  \\ 4 & -1 \\ \end{pmatrix}$ 相似于对角阵。

}


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%\item % 24
\newcommand{\CRX}{
习题24. 1) 设 \( \lambda_1, \lambda_2 \) 是线性变换 \( \mathcal{A} \) 的两个不同特征值，\( \varepsilon_1, \varepsilon_2 \) 是分别属于 \( \lambda_1, \lambda_2 \) 的特征向量，证明：\( \varepsilon_1 + \varepsilon_2 \) 不是 \( \mathcal{A} \) 的特征向量；

2) 证明：如果线性空间 \( V \) 的线性变换 \( \mathcal{A} \) 以 \( V \) 中每个非零向量作为它的特征向量，那么 \( \mathcal{A} \) 是数乘变换。

}

\newcommand{\CRXa}{
设 \( \lambda_1, \lambda_2 \) 是线性变换 \( \mathcal{A} \) 的两个不同特征值，\( \varepsilon_1, \varepsilon_2 \) 是分别属于 \( \lambda_1, \lambda_2 \) 的特征向量，证明 \( \varepsilon_1 + \varepsilon_2 \) 不是 \( \mathcal{A} \) 的特征向量。

}

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%\item % 25
\newcommand{\CRY}{
习题25. 设 \( V \) 是复数域上的 \( n \) 维线性空间，\( \mathcal{A}, \mathcal{B} \) 是 \( V \) 上的线性变换，且 \( \mathcal{A} \mathcal{B} = \mathcal{B} \mathcal{A} \)。证明：

1) 如果 \( \lambda_0 \) 是 \( \mathcal{A} \) 的一特征值，那么 \( V_{\lambda_0} \) 是 \( \mathcal{B} \) 的不变子空间；

2) \( \mathcal{A}, \mathcal{B} \) 至少有一个公共的特征向量。

}



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%\item % 26
\newcommand{\CRZ}{
习题26. 设 \( V \) 是复数域上的 \( n \) 维线性空间，而线性变换 \( \mathcal{A} \) 在基 \( \varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n \) 下的矩阵是一若尔当块。证明：

1) \( V \) 中包含 \( \varepsilon_1 \) 的 \( \mathcal{A} \) 子空间只有 \( V \) 自身；

2) \( V \) 中任一非零 \( \mathcal{A} \) 子空间都包含 \( \varepsilon_n \)；

3) \( V \) 不能分解成两个非平凡的 \( \mathcal{A} \) 子空间的直和。

}



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%\item % 27
\newcommand{\CRZA}{
习题27. 求下列矩阵的最小多项式：

1) \( \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix} \);

2) \( A = \begin{pmatrix}
3&-1&-3&1 \\ 
-1&3&1&-3 \\ 
3&-1&-3&1 \\ 
-1&3&1&-3 \\ 
\end{pmatrix} \).

}


